Question

8．已知数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•3^n-1}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$，可得当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3n-{n}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）-（n-1）^{2}}{2}$=2-n，
又n=1时也满足．
∴a_n=2-n．
（2）设数列{a_n•3^n-1}的前n项和为S_n．
∴S_n=1+0-3²-3³-…+（2-n）•3^n-1，
3S_n=3+0-3³-…+（3-n）•3^n-1+（2-n）•3ⁿ，
两式相减得-2S_n=1-3-3²-…-3^n-1-（2-n）•3ⁿ=2-$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（2-n）•3ⁿ=$\frac{5}{2}-\frac{5-2n}{2}•{3}^{n}$，
∴S_n=$\frac{5-2n}{4}•{3}^{n}$-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．