Question

17．设e₁，e₂为平面上夹角为θ（$0＜θ≤\frac{π}{2}$）的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，P为平面上任意一点，当$\overrightarrow{OP}=x{e_1}+y{e_2}$时，定义（x，y）为点P的斜坐标．现有两个点A，B的斜坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．则A，B两点的距离为$\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}+2（{{x_1}-{x_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）cosθ}$．

Answer 1

分析 $|\overrightarrow{{e}_{1}}|$=$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ.$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow{{e}_{1}}|$=$|\overrightarrow{{e}_{2}}|$=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ．
∵$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$（{y}_{2}-{y}_{1}）\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}+2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{y}_{2}-{y}_{1}）cosθ}$，
故答案为：$\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}+2（{{x_1}-{x_2}}）（{{y_1}-{y_2}}）cosθ}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．