Question

7．已知f（log_ax）=x+x^-1（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，从而可解出x带入原函数解析式便可得到f（t）=a^t+a^-t，从而可得到f（x）的解析式；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，然后分0＜a＜1和a＞1两种情况，分别判断x₁，x₂∈（-∞，0）和[0，+∞）时f（x₁）与f（x₂）的关系，从而得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）令log_ax=t，则x=a^t；
∴f（t）=a^t+a^-t；
∴f（x）=a^x+a^-x；
（2）设x₁＜x₂，则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={a}^{{x}_{1}}+{a}^{-{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{2}}$=$（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
①若0＜a＜1，∵x₁＜x₂，∴${a}^{{x}_{1}}＞{a}^{{x}_{2}}$，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＞0$；
∴1）x₁，x₂∈（-∞，0）时，x₁+x₂＜0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴$1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减；
2）x₁，x₂∈[0，+∞）时，x₁+x₂＞0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＜1$；
∴$1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
②若a＞1时，则${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}，{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}＜0$；
∴1）x₁，x₂∈（-∞，0）时，x₁+x₂＜0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＜1$；
∴$1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＜0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减；
2）x₁，x₂∈[0，+∞）时，x₁+x₂＞0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴$1-\frac{1}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增；
综上得，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．

点评 考查换元法求函数解析式，指数式和对数式的互化，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，指数函数的单调性，作差比较f（x₁）与f（x₂）的方法．