Question

17．正项等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S₄=30，a₃+a₅=40，则数列{a_n}的前9项的和为1022．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由S₄=30，a₃+a₅=40，q≠1，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=30}\\{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{4}）=40}\end{array}\right.$，解得a₁，q，即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵S₄=30，a₃+a₅=40，
∴q≠1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=30}\\{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{4}）=40}\end{array}\right.$，
解得a₁=q=2，
∴S₉=$\frac{2（{2}^{9}-1）}{2-1}$=2¹⁰-2=1022．
故答案为：1022．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．