Question

1．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，其反函数为y=g（x）．
（1）若g（mx²+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，则其反函数为y=g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$．可得g（mx²+2x+1）=-$lo{g}_{3}（m{x}^{2}+2x+1）$，当m≤0时，舍去．当m＞0时，g（mx²+2x+1）的定义域为R，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m即可得出．
（2）函数y=[f（x）]²-2af（x）+3=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2a$（\frac{1}{3}）^{x}$+3，x∈[-1，1]时，令$（\frac{1}{3}）^{x}$=t∈$[\frac{1}{3}，3]$，y=（t-a）²+3-a²=u（t），对称轴t=a．对a与$\frac{1}{3}$，3的大小分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（3）存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=-6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，可得$\left\{\begin{array}{l}{-6n+12={m}^{2}}\\{-6m+12={n}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可判断出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，则其反函数为y=g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$=-log₃x．
∴g（mx²+2x+1）=-$lo{g}_{3}（m{x}^{2}+2x+1）$，
当m≤0时，g（mx²+2x+1）的定义域不为R，舍去．
当m＞0时，g（mx²+2x+1）的定义域为R，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4m＜0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
∴实数m的取值范围是（1，+∞）．
（2）函数y=[f（x）]²-2af（x）+3=$（\frac{1}{3}）^{2x}$-2a$（\frac{1}{3}）^{x}$+3，
∵x∈[-1，1]时，令$（\frac{1}{3}）^{x}$=t∈$[\frac{1}{3}，3]$，
∴y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=u（t），对称轴t=a．
当a$≤\frac{1}{3}$时，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上单调递增，∴t=$\frac{1}{3}$时，u（t）取得最小值u（$\frac{1}{3}$）=$\frac{28-6a}{9}$．
当a≥3时，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上单调递减，∴t=3时，u（t）取得最小值u（3）=12-6a．
当$\frac{1}{3}$＜a＜3时，u（t）在t∈$[\frac{1}{3}，a）$上单调递减，在t∈[a，3]上单调递增，∴t=a时，u（t）取得最小值u（a）=3-a²．
综上可得：最小值h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a≤\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{3}＜a＜3}\\{-6a+12，a≥3}\end{array}\right.$．
（3）存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=-6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
则$\left\{\begin{array}{l}{-6n+12={m}^{2}}\\{-6m+12={n}^{2}}\end{array}\right.$，可得：m²-6m+24=0，由于△=36-96＜0，因此上述方程无解．
于是假设不成立，
因此不存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）=-6x+12的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]．

点评 本题考查二次函数的单调性与值域、反函数的求法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、换元法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．