Question

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an+log2

1

an

，S_n=b₁+b₂+…b_n，求使 Sn-2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，根据2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，建立方程组，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） bn=an+log2

1

an

=2ⁿ-n，求出S_n=b₁+b₂+…b_n，再利用Sn-2n+1+47＜0，建立不等式，即可求得使Sn-2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴

a1(2+q2)=3a1q① a1(q+q3)=2a1q2+4②

由 ①得 q²-3q+2=0，解得q=1或q=2．
当q=1时，不合题意舍；
当q=2时，代入（2）得a₁=2，所以a_n=2ⁿ．…．…（6分）
（Ⅱ） bn=an+log2

1

an

=2ⁿ-n．…．…（7分）
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² …．…（10分）
因为 Sn-2n+1+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．…．…（12分）
故使Sn-2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值为10．…．（13分）

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的通项与求和，考查解不等式，解题的关键是确定数列的通项与和，属于中档题．