Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，b_n=

2

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=

2an

(n+1)2

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）首先利用定义通过运算证明数列的相邻相差值为常数，说明数列为等差数列，然后根据等差数列求出
a_n的通项公式．
（2）根据（1）的结论进一步利用相消法求数列的前n项和．

解答： 解：（1）证明：∵b_n+1-b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=2（n∈N^*）
∴数列{b_n}是等差数列．
∵a₁=1，∴b₁=

2

2a1-1

=2，∴b_n=2+（n-1）•2=2n．
由b_n=

2

2an-1

，得2a_n-1=

2

bn

=

1

n

（n∈N^*），∴a_n=

n+1

2n

．
（2）由（1）知a_n=

n+1

2n

，得c_n=

2an

(n+1)2

=

1

n(n+1)

，从而c_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查的知识点：利用定义法证明数列为等差数列，相消法在数列求和中的应用及相关的运算问题．