Question

一直线过点P（-5，-4），求：
（1）与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线方程．
（2）过点P，且与原点的距离等于5的直线方程．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由题意得直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为y+4=k（x+5）．分别令x=0，y=0，得到坐标轴上的截距，再由面积公式，解方程得到斜率k，即可得到直线方程；
（2）分别设出斜率不存在和存在的直线方程，再由点到直线的距离公式，求出斜率k即可得到直线方程．

解答： 解：（1）由题意，得直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为y+4=k（x+5）．
令x=0，得y=5k-4；令y=0，得x=

4

k

-5，
即直线在两坐标轴上的截距分别为

4

k

-5和5k-4．
由题意，得

1

2

|（

4

k

-5）（5k-4）|=5，所以（

4

k

-5）（5k-4）=±10．
若（

4

k

-5）（5k-4）=10时，k无解；
若（

4

k

-5）（5k-4）=-10时，解得k=

8

5

或

2

5

．
故所求直线方程为y+4=

8

5

（x+5）或y+4=

2

5

（x+5）．
即为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0．
（2）①当过点P（-5，-4）的直线与x轴垂直时，
则点P（-5，-4）到原点的距离为5，所以x=-5为所求直线方程．
②当过点P（-5，-4）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y+4=k（x+5），
即：kx-y+5k-4=0，由题意有

|5k-4|

k2+1

=5，解得k=-

9

40

，
故所求的直线方程为y+4=-

9

40

（x+5），即9x+40y+205=0．
综上，所求直线方程为x=-5或9x+40y+205=0．

点评：本题考查直线方程的求法，注意斜率不存在的情况，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．