Question

已知cos（α-

β

2

）=-

2 7

7

，sin（

α

2

-β）=

1

2

，且α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

）．求：
（1）cos 

α+β

2

；
（2）tan（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用cos 

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，求出相关的三角函数值即可求解；
（2）求出相关角的范围，利用tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，求解即可．

解答： 解：（1）cos（α-

β

2

）=-

2 7

7

，且α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

）．α-

β

2

∈（

π

4

，π），
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

21

7

．
sin（

α

2

-β）=

1

2

，且α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

）．

α

2

-β∈（-

π

4

，

π

2

）．
cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

3

2

．
cos 

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=-

2 7

7

×

3

2

+

21

7

×

1

2

=-

21

14

．
（2）α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

）．α+β∈（

π

2

，

3π

2

），

α+β

2

∈（

π

4

，

3π

4

），
∵cos 

α+β

2

=-

21

14

．
∴

α+β

2

∈（

π

2

，

3π

4

），
sin

α+β

2

=

1-cos2 α+β 2

=

175

14

，
tan

α+β

2

=-

75

3

．
tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

2×(- 75 3 )

1-(- 75 3 )2

=

75

11

．

点评：本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．