Question

数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n≥2），设b_n=

1

an-2

．
（1）判断数列{b_n}是否为等差数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，从而

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，由此能证明数列{b_n}是公差为

1

2

的等差数列．
（2）由b1=

1

a1-2

=

1

2

，得b_n=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，由此能求出a_n=

2

n

+2．

解答： 解：（1）数列{b_n}是等差数列，证明如下：
∵数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n≥2），
∴a_n-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，
∴

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n-b_n-1=

1

2

，
∴数列{b_n}是公差为

1

2

的等差数列．
（2）∵b1=

1

a1-2

=

1

2

，
∴b_n=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

点评：本题考查等差数列的判断与证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．