Question

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若f'（x）是f（x）的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数x₁、x₂，不等式恒成立．

Answer 1

解：（I），
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有单调性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有负也有0，
即二次函数y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函数值有负数．
∵y=2x²-6x+a是对称轴是，开口向上的抛物线，
∴2•2²-6•2+a＜0的实数a的取值范围（-∞，4）
故答案为（-∞，4）．

（II）由（I），
∵a＜4，∴，（8分）
设，，h（x）在是减函数，在增函数，
当时，h（x）取最小值∴从而g'（x），∴，
函数是增函数，x₁、x₂是两个不相等正数，
不妨设x₁＜x₂，则
∴，
∵x₂-x₁＞0，∴
∴，即
分析：（Ⅰ）求函数在x∈（2，+∞）上不具有单调性时实数a的取值范围，可以考虑求导函数的方法，则导函数在（2，+∞）上即有正也有负，即有零点，求出范围即可．
（Ⅱ）由（I）求出g（x）的函数表达式，然后求导函数h（x），通过判断h（x）的单调性求出g'（x），然后可以得到函数是增函数，对任意两个不相等正数x₁、x₂，即可得到不等式成立．
点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到利用求导函数的方法求函数单调性的问题，涵盖的考点较多，技巧性强，属于综合性试题．