Question

已知曲线ax²+by²=12的两条动弦MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂．
（1）已知a=b=3且A（-2，0），B（2，0），试证明：k₁k₂为定值．
（2）已知a=3，b=4．
①若A（-2，0），B（2，0），试判断k₁k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
②若定点M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，试判断直线AB是否过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当a=b=3时，ax²+by²=12为x²+y²=4，由此能证明k₁k₂=-1为定值．
（2）①a=3，b=4时，曲线为

x2

4

+

y2

3

=1，设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，由此能求出k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

为定值．
②定点M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k₁k₂=

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=-

3

4

，设直线AB为y=kx+b，联立

y=x+b x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用韦达定理能证明直线AB过一定点（0，0）．

解答： （1）证明：当a=b=3时，ax²+by²=12为x²+y²=4，
它是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆，
此时A（-2，0），B（2，0）是圆的两个端点，
∴由圆的性质得MA⊥MB，
∴k₁k₂=-1为定值．
（2）①解：a=3，b=4时，曲线为

x2

4

+

y2

3

=1，
且A（-2，0），B（2，0）为椭圆长轴两端点，
设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，
∵弦MA，MB所在直线的斜率分别为k₁，k₂，
∴k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

为定值．
②定点M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k1=

y1+ 3 2

x1-1

，k2=

y2+ 3 2

x2-1

，
k₁k₂=

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=-

3

4

，（*）
设直线AB为y=kx+b，
联立

y=x+b x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x₁+x₂=-

8kb

3+4k2

，x₁x₂=

4b2-12

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+b2，
代入（*）式，解得b=0，
∴直线AB的方程为y=kx，
∴直线AB过一定点（0，0）．

点评：本题考查两直线的斜率这积为定值的证明，考查直线是事过定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．