Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求点C₁到面CB₁N的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明B₁C₁⊥BN，BN⊥B₁N，利用直线与平面垂直的判定定理证明BN⊥面C₁B₁N．
（2）利用等体积法转化为四棱锥的体积，VC1-CNB1=VN-CB1C1=

1

2

VN-CBB1C1，然后求解即可．

解答： 解：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
则B₁C₁⊥面ABB₁N，且在ABB₁N内，易证∠BNB₁为直角，
∵B₁C₁⊥面ABB₁N且BN?面ABB₁N，∴B₁C₁⊥BN，
又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥面C₁B₁N．
（2）由等体积法VC1-CNB1=VN-CB1C1=

1

2

VN-CBB1C1=

1

2

×

1

3

×8×4×4=

64

3

，

1

3

S△CNB1h=

64

3

，
则h=

64

S△CNB1

=

4 6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．