Question

已知关于x的方程

|cosx|

x

=k在（0，+∞）有且只有两根，记为α、β（α＜β），则βtanβ=

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=|cosx|-kx得到g（x）=|cosx|和函数h（x）=kx，再画出两函数的图象，问题得解．

解答： 解；解：原题等价于方程|cosx|=kx在（0，+∞）恰有两个不同的解，
等价于函数g（x）=|cosx|与函数h（x）=kx的图象在（0，+∞）恰有两个交点（如图），



在（

π

2

，π）内的交点横坐标为β，且此时直线h（x）=kx与曲线g（x）=|cosx|相切，切点为（β，kβ），
又x∈（

π

2

，π）时，g（x）=-cosx，g'（x）=sinx，
故k=g'（β）=sinβ，∴kβ=g（β）=-cosβ．
即cosβ=-βsinβ，
βtanβ=-1
故答案为：-1

点评：考查函数零点，导数的应用，解题时可结合图形，难度适中．