Question

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）•f（y）．当x＞0时，f（x）＞1，f（1）=2．
（1）求f（0）和f（3）的值；
（2）证明f（x）是增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=0，代入求得f（0）=1，利用迭代求f（3）；
（2）由题意可推出f（x）＞0，由定义法可证明f（x）是增函数．

解答： 解：（1）由题意，令y=0，则
f（x）=f（x）f（0），
∵f（x）不恒等于0，
故f（0）=1；
f（3）=f（2）f（1）
=2f（2）=2f（1）f（1）=8；
（2）证明：任取x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+x₂-x₁）
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）
=f（x₁）（1-f（x₂-x₁））
又∵f（0）=f（-x）f（x）=1，当x＞0时，f（x）＞1；
∴f（x₁）＞0，f（x₂-x₁）＞1；
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查了抽象函数的应用，同时考查了函数的单调性的证明，属于中档题．