Question

如图，动圆，1＜t＜3与椭圆C₂：相交于A，B，C，D四点，点A₁，A₂分别为C₂的左，右顶点．
（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（Ⅱ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A（x，y），则矩形ABCD的面积S=4|x||y|，由得，从而=，由此可求矩形ABCD的面积的最大值；
（Ⅱ）由A（x，y），B（x，-y），A₁（-3，0），A₂（3，0），确定直线AA₁的方程，直线A₂B方程，利用，即可求得直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设A（x，y），则矩形ABCD的面积S=4|x||y|
由得，从而==
∴，时，S_max=6
∴t=时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6；
（Ⅱ）由A（x，y），B（x，-y），A₁（-3，0），A₂（3，0），知直线AA₁的方程为①
直线A₂B方程为②
由①②可得：③
∵④
∴④代入③可得（x＜-3，y＜0）
∴直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程（x＜-3，y＜0）．
点评：本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大．