Question

【题目】已知函数g（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜ ，ω＞0）的图象如图所示，函数f（x）=g（x）+ cos2x﹣ sin2x
（1）如果 ，且g（x1）=g（x2），求g（x1+x2）的值；
（2）当﹣ ≤x≤ 时，求函数f（x）的最大值、最小值及相应的x值；
（3）已知方程f（x）﹣k=0在 上只有一解，则k的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图象得，A=1，

T= ，则 ，所以ω=2，

把点 代入得，sin（2× +φ）=0，则2× +φ=kπ，

解得 （k∈Z），由﹣π＜＜0得， ，

所以 ，

因为 ，且g（x1）=g（x2），

所以由图得， ，

则

（2）解：由（1）得，f（x）=g（x）+ cos2x﹣ sin2x

= = ，

因为 ，所以 ，

当 时，即 时，ymax=2，

当 时，即 时，

（3）解：由（2）得，f（x）= ，

因为x∈ ，所以 ∈ ，

则 ，

即 ，

因为方程f（x）﹣k=0在 上只有一解，

则k的取值集合是（﹣ ， ]∪{﹣2}

【解析】（1）由图象求出A、T、ω和φ，求出g（x）的解析式，由图象和条件求出x1+x2的值，代入解析式由特殊角的正弦函数求g（x1+x2）的值；（2）由（1）和两角和、差的正弦公式化简f（x），由x的范围、正弦函数的性质，求出答案；（3）由x∈ 求出 的范围，由正弦函数的性质求出 的范围，由条件和方程的根转化求出k的取值集合．
【考点精析】通过灵活运用三角函数的最值，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，即可以解答此题．