【题目】在四棱锥中,
与
相交于点
,点
在线段
上,
,且
平面
.
(1)求实数的值;
(2)若,
, 求点
到平面
的距离.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:解法一:(1)由平行线的性质可得,结合线面平行的性质定理有
.据此可得
.
(2) 由题意可知为等边三角形,则
,结合勾股定理可知
且
,由线面垂直的判断定理有
平面
,进一步有平面
平面
.作
于
,则
平面
.
即为
到平面
的距离.结合比例关系计算可得
到平面
的距离为
.
解法二:(1)同解法一.
(2)由题意可得为等边三角形,所以
,结合勾股定理可得
且
,则
平面
.设点
到平面
的距离为
,利用体积关系:
, 即
.求解三角形的面积然后解方程可得
到平面
的距离为
.
详解:解法一:(1)因为,所以
即
.
因为平面
,
平面
,
平面平面
,
所以.
所以,即
.
(2) 因为,所以
为等边三角形,所以
,
又因为,
,所以
且
,
所以且
,又因为
,所以
因为平面
,所以平面
平面
.
作于
,因为平面
平面
,所以
平面
.
又因为平面
,所以
即为
到平面
的距离.
在△中,设
边上的高为
,则
,
因为,所以
,即
到平面
的距离为
.
解法二、(1)同解法一.
(2)因为,所以
为等边三角形,所以
,
又因为,
,所以
且
,
所以且
,又因为
,所以
平面
.
设点到平面
的距离为
,由
得
,
所以,
即.
因为,
,
,
所以,解得
,即
到平面
的距离为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
(Ⅰ)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人?
(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3人中女生人数为,写出
的分布列,并求
.
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
附:,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是其左、右焦点,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若在直线上任取一点
,从点
向
的外接圆引一条切线,切点为
.问是否存在点
,恒有
?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知如图1所示,在边长为12的正方形,中,
,且
,
分别交
于点
,将该正方形沿
,折叠,使得
与
重合,构成如图2 所示的三棱柱
,在该三棱柱底边
上有一点
,满足
; 请在图2 中解决下列问题:
(I)求证:当时,
//平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】己知函数.(
是常数,且(
)
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当在
处取得极值时,若关于
的方程
在
上恰有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)求证:当时
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(2)设动点在圆
上,动线段
的中点
的轨迹为
,
与直线
交点为
,且直角坐标系中,
点的横坐标大于
点的横坐标,求点
的直角坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的斜率之积等于1,求证:直线
经过一定点.
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