Question

【题目】已知函数在时取得极值且有两个零点.

（1）求的值与实数的取值范围；

（2）记函数两个相异零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；

（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.

（1）因为，所以，

又在时取得极值，所以，即；

所以，

因为有两个零点，所以方程有2个不同实根，

令，则，

由得；由得；

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

所以，又时，；时，；

因此，要使方程有2个不同实根，只需与有两不同交点，

所以；

（2）因为函数两个相异零点，所以，①；

即，即②；

又等价于，即③；

由①②③可得；

不妨令，则，

上式可化为；

设，则在上恒成立；

故函数在上单调递增；

所以，即不等式成立；

因此，所证不等式成立.