【题目】已知函数.
(1)若在
处取得极值,求
在
处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若函数在
上无零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)根据在处取极值可得
,可求得
,验证可知满足题意;根据导数的几何意义求得切线斜率,利用点斜式可求得切线方程;(2)求导后,分别在
和
两种情况下讨论导函数的符号,从而得到
的单调性;(3)根据
在
上无零点可知
在
上的最大值和最小值符号一致;分别在
,
两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值,利用符号一致构造不等式求得结果.
(1)由题意得:
在
处取极值
,解得:
则当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增
为
的极小值点,
满足题意
函数
当时,
由得:
在
处的切线方程为:
,即:
(2)由题意知:函数的定义域为,
①当时
若,
恒成立,
恒成立
在
内单调递减
②当时
由,
得:
;由
得:
在
内单调递减,在
内单调递增
综上所述:当时,
在
内单调递减;当
时,
在
内单调递减,在
内单调递增
(3)①当时,
在
上单调递减
在
上无零点,且
②当时
(i)若,即
,则
在
上单调递增
由,知
符合题意
(ii)若,即
,则
在
上单调递减
在
上无零点,且
(iii)若,即
,则
在
上单调递减,在
上单调递增
,
,
符合题意
综上所述,实数的取值范围是
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【题目】已知如图1所示,在边长为12的正方形,中,
,且
,
分别交
于点
,将该正方形沿
,折叠,使得
与
重合,构成如图2 所示的三棱柱
,在该三棱柱底边
上有一点
,满足
; 请在图2 中解决下列问题:
(I)求证:当时,
//平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的斜率之积等于1,求证:直线
经过一定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
.
(1)若曲线参数方程为:
(
为参数),求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线参数方程为:
(
为参数),
,且曲线
与曲线
交点分别为
,
,求
的取值范围.
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【题目】在一项研究中,为尽快攻克某一课题,某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验,现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本,并规定试验数据落在[495,510)之内的数据作为理想数据,否则为不理想数据.试验情况如表所示
(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表;
(2)判断是否有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)
(参考公式:其中n=a+b+c+d)
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,焦距为
,点
为椭圆上一点,
,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆的上顶点,过椭圆内一点
的直线
交椭圆于
两点,若
与
的面积比为
,求实数
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,锐角
的顶点为坐标原点
,始边为
轴的正半轴,终边与单位圆
的交点分别为
.已知点
的横坐标为
,点
的纵坐标为
.
(1)求的值;
(2)求的值.
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【题目】已知在几何体ABCDE中,AB⊥平面BCE,且△BCE是正三角形,四边形ABCD为正方形,F是线段CD上的中点,G是线段BE的中点,且AB=2.
(1)求证:GF∥平面ADE;
(2)求三棱锥F–BGC的表面积.
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