Question

8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（　　）

• A． $\frac{13}{22}$
• B． $\frac{37}{33}$
• C． $\frac{47}{44}$
• D． $\frac{67}{66}$

Answer 1

分析 设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．

解答 解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a₁，a₂，…，a₉，且为等差数列，
根据题意得：a₁+a₂+a₃+a₄=3，a₇+a₈+a₉=4，
即4a₁+6d=3①，3a₁+21d=4②，②×4-①×3得：66d=7，解得d=$\frac{7}{66}$，
把d=$\frac{7}{66}$代入①得：a₁=$\frac{13}{22}$，
则a₅=$\frac{13}{22}$+$\frac{7}{66}$（5-1）=$\frac{67}{66}$．
故选：D．

点评 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．