Question

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求证：a≠1时，{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式．
（2）设，，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：数列{b_n}的前n项的和S_n．
（3）设、、．记d_n=c_2n-c_2n-1，数列{d_n}的前n项和T_n．证明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n+1=ca_n+1-c，可得a_n+1-1=c（a_n-1），从而可得a≠1时，{a_n-1}是等比数列，即可求{a_n}通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项，利用错位相减法，可求数列的和；
（3）确定数列{d_n}的通项．利用放缩法求和，即可证得结论．
解答：（1）证明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1时，{a_n-1}等比数列．
∵a₁-1=a-1，∴，∴
（2）解：由（1）可得
∴
∴S_n=
∴S_n=
两式相减可得S_n==1-
∴
（3）证明：，

∴
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．