Question

已知函数f(x)=ax-

b

x

-2lnx，且f(e)=be-

a

e

-2．（e是自然对数的底数）
（1）求a与b的关系式；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式及f（e）的解析式确定a与b的关系．
（2）因为f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，所以，它的导数大于或等于0恒成立，或它的导数小于或等于0恒成立，分别就a=0、a＞0、a＜0三种情况进行讨论．

解答：解：（1）由题意知，f（e）=ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，
∴（a-b）•（e+

1

e

）=0，∴a=b，
（2）由（1）知  f（x）=ax-

a

x

-2•lnx，f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令 h（x）=ax²-2x+a，因为f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴在其定义域（0，+∞）内，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①当a=0时，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
故a=0满足条件．
②当a＞0时，h（x）图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=

1

a

，h（x）的最小值是a-

1

a

，只需 a-

1

a

≥0，
∴a≥1，即a≥1时，f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，故a≥1满足条件．
③当a＜0时，h（x）图象是开口向下的抛物线，对称轴是x=

1

a

∈（0，+∞），
∴在（0，+∞）内，h（x）≤0成立，
∴f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调减函数，
∴当a＜0时，满足条件．
综上可得，a的取值范围是a≥1或a≤0．

点评：本题考查利用函数导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想．