Question

已知a、b、c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

3

asinC-b-c=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=

13

，△ABC的面积为

3

，求b、c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，把sinB=sin（A+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出sin（A-

π

6

）的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出+c的值，联立即可求出b与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理知sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

3

sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC＞0，
∴

3

sinA-cosA-1=0，化简得：sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（Ⅱ）∵sinA=

3

2

，S=

3

，
∴

1

2

bc•

3

2

=

3

，即bc=4①，
∵a=

13

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：13=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc得：b+c=5②，
联立①②，解得：b=4，c=1或b=1，c=4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．