Question

10．定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在区间（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（2）判定f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（3）求证：f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）

Answer 1

分析 （　　）先利用赋值法研究函数f（x）的性质，令x=y=0得，f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数；
（2）利用函数单调性的性质，结合条件关系即可判断函数的单调性．
（3）根据条件关系f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（-$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}{1-\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n+2}}$），利用条件关系即可得到结论．

解答 解：（1）由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），得，f（0）+f（0）=f（0），
解得f（0）=0；
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
证明（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则有f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=$f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，
$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}+1$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}+1-{x}_{1}{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，则f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$f（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
证明：（3）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）+f（-$\frac{1}{n+2}$）=f（$\frac{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}{1-\frac{1}{n+1}•\frac{1}{n+2}}$）=f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$），
∴f（$\frac{1}{{n}^{2}+3n+1}$）=f（$\frac{1}{n+1}$）-f（$\frac{1}{n+2}$）成立．

点评 本题主要考查抽象函数的应用．一般先利用赋值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判断函数的奇偶性，单调性等性质；考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．