Question

15．若函数$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x$在$[-\frac{π}{2}，0]$上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{1}{7}，1]$
• B． $[-1，\frac{1}{7}]$
• C． $（-∞，-\frac{1}{7}]∪[1，+∞）$
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 利用导函数的性质研究原函的单调性即可得答案．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+3a（sinx-cosx）+（4a-1）x$，
则f′（x）=-sin2x+3a（cosx+sinx）+4a-1．
∵函数f（x）在$[-\frac{π}{2}，0]$上单调递增，可得f′（$-\frac{π}{2}$）≥0，且f′（0）≥0，
即$\left\{\begin{array}{l}{sinπ+3a（cos\frac{π}{2}-sin\frac{π}{2}）+4a-1≥0}\\{sin0+3a（cos0+sin0）+4a-1≥0}\end{array}\right.$，解得：a≥1．
∴得实数a的取值范围为[1，+∞）．
故选D．

点评 本题考查了导函数研究原函数的单调性的运用能力，属于基础题．