Question

10．在${（{x-\frac{1}{x}-1}）^4}$的展开式中，常数项为-5．

Answer 1

分析 ${（{x-\frac{1}{x}-1}）^4}$的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$（-1）^4-r$（x-\frac{1}{x}）^{r}$（r=0，1，2，3，4）．$（x-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，令r-2k=0，即r=2k．进而得出．

解答 解：${（{x-\frac{1}{x}-1}）^4}$的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$（-1）^4-r$（x-\frac{1}{x}）^{r}$（r=0，1，2，3，4）．
∵$（x-\frac{1}{x}）^{r}$的通项公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，
令r-2k=0，即r=2k．
r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．
∴常数项=1-${∁}_{2}^{1}$×${∁}_{4}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$×1=-5．
故答案为：-5．

点评 本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．