Question

19．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若|AB|=6，则△AOB的面积为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得焦点坐标，将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式求得k的值，则S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，即可求得△AOB的面积．

解答 解：根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．则x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{k}$+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，
丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2+2=6，则k=±$\sqrt{2}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{6}$，
S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$，
△AOB的面积$\sqrt{6}$，
故选A．

点评 本题考查抛物线的焦点弦公式，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．