Question

11．△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$cosA=\frac{7}{8}$，c-a=2，b=3．
（I）求a和sinB；
（II）求$sin（2A+\frac{π}{3}）$．

Answer 1

分析 （ I）由余弦定理和正弦定理求出a、sinA、sinB的值；
（II）由二倍角与两角和的正弦公式，即可求出$sin（2A+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（ I）△ABC中，$cosA=\frac{7}{8}$，c-a=2，b=3；
∴a²=b²+c²-2bccosA=9+（2+a）²-$\frac{21}{4}$（2+a），
即9+4a+4-$\frac{21}{4}$a-$\frac{21}{2}$=0，
解得a=2；
又∵cosA=$\frac{7}{8}$，且0＜A＜π，
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$；
由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴$\frac{2×8}{\sqrt{15}}$=$\frac{3}{sinB}$，
解得sinB=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$；
（II）∵sin2A=2sinAcosA
=2×$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{7}{8}$
=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$，
cos2A=cos²A-sin²A
=${（\frac{7}{8}）}^{2}$-${（\frac{\sqrt{15}}{8}）}^{2}$
=$\frac{17}{32}$，
∴$sin（2A+\frac{π}{3}）$=sin2Acos$\frac{π}{3}$+cos2Asin$\frac{π}{3}$
=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{17}{32}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{7\sqrt{15}+17\sqrt{3}}{64}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理以及三角恒等变换的应用问题，是基础题．