Question

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面BED；
（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED；
（Ⅲ）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD的中点为O，连结OE，OG，推导出四边形OGFE是平行四边形，从而FG∥OE，由此能证明FG∥平面BED．
（Ⅱ）由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$，由勾股定理得BD⊥AD，从而BD⊥平面AED，由此能证明平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）由EF∥AB，知直线EF与平面BED所成角为直线AB与平面BED所成角，过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，直线AB与平面BED所成角即为∠ABH，由此能求出直线EF与平面BED所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取BD的中点为O，连结OE，OG，
在△BCD中，∵G是BC的中点，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}DC$=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=OG，
即四边形OGFE是平行四边形，∴FG∥OE，
又FG?平面BED，OE?平面BED，
∴FG∥平面BED．
（Ⅱ）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
又∵平面BD?平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
解：（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成角为直线AB与平面BED所成角，
过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，
又∵平面BED∩平面AED=ED，
由（Ⅱ）知AH⊥平面BED，
∴直线AB与平面BED所成角即为∠ABH，
在△ADE中，AD=1，DE=3，AE=$\sqrt{6}$，
由余弦定理得cos∠ADE=$\frac{1+9-6}{2×1×3}$=$\frac{2}{3}$，
∴sin$∠ADE=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=AD$•sin∠ADE=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
在Rt△AHB中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴直线EF与平面BED所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．