Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{x}$|x-a|，a∈R，g（x）=16x³+mx²-15x-2，且g（2）=0．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a＞0，若存在实数t（t＞a），当x∈[0，t]时函数f（x）的值域为[0，$\frac{t}{2}$]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据g（2）=0，求出m的值，求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；
（Ⅲ）令h（x）=$\sqrt{x}$（a-x），根据函数的单调性得到f（x）_max=max{f（$\frac{a}{3}$），f（t）}，分情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）∵g（2）=16•2³+m•2²-15•2-2=0，
解得：m=-24，
故g（x）=16x³-24x²-15x-2，
g′（x）=48x²-48x-15，
令g′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{1}{4}$或x＞$\frac{5}{4}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{5}{4}$，
故f（x）在（-∞，-$\frac{1}{4}$）递增，在（-$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$）递减，在（$\frac{5}{4}$，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（-$\frac{1}{4}$）=0，f（x）_极小值=f（$\frac{5}{4}$）=-27；
（Ⅱ）显然x≥0，
当a≤0时，f（x）=$\sqrt{x}$（x-a），f′（x）=$\frac{3}{2}$${x}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$a${x}^{-\frac{1}{2}}$≥0，
∴f（x）在[0，+∞）递增，符合题意，
当a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}（a-x），0≤x≤a}\\{\sqrt{x}（x-a），x＞a}\end{array}\right.$，
此时，x=a是函数f（x）的零点，显然不单调，
综上，a的范围是：（-∞，0]；
（Ⅲ）显然，当x＞a时，f（x）递增，
令h（x）=$\sqrt{x}$（a-x），（0≤x≤a），则h′（x）=$\frac{a-3x}{2\sqrt{x}}$，
x∈（0，$\frac{a}{3}$）时，h′（x）＞0，x∈（$\frac{a}{3}$，a）时，h′（x）＜0，
故h（x）的1个极大值点是x=$\frac{a}{3}$，
则当x∈[0，t]时，f（x）_max=max{f（$\frac{a}{3}$），f（t）}，
①当f（x）_max=f（t）时，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{a}{3}）≤\frac{t}{2}}\\{f（t）=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{\frac{a}{3}}•\frac{2a}{3}≤\frac{t}{2}}\\{\sqrt{t}（t-a）=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，
即2${（2\sqrt{t}-1）}^{3}$-27$\sqrt{t}$≤0，（*），
令φ（x）=2（2x-1）³-27x=16x³-24x²-15x-2，（x＞0）
由（Ⅰ）知，x∈（0，$\frac{5}{4}$）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
x∈（$\frac{5}{4}$，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，
又∵φ（0）=-2＜0，φ（2）=0，
∴x∈（0，2）时，φ（x）＜0，x∈（2，+∞）时，φ（x）＞0，
∴由（*）解得：$\sqrt{t}$≤2，即t≤4，
故a≤3，又a＞0，综上，0＜a≤3；
②当f（x）_max=f（$\frac{a}{3}$）时，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（t）≤\frac{t}{2}}\\{f（\frac{a}{3}）=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，
同上，得0＜a≤3，
综上，a∈（0，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．