Question

11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB．
（Ⅰ）求B
（Ⅱ）若cosA=$\frac{1}{3}$，求sinC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，利用余弦定理即可求出角B的大小；
（Ⅱ）根据同角的三角函数关系，利用三角形内角和与两角和的正弦公式即可求出sinC．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，asinA+csinC-$\sqrt{2}$asinC=bsinB，
由正弦定理得a²+c²-$\sqrt{2}$ac=b²，
由余弦定理得
cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由cosA=$\frac{1}{3}$，且A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理以及同角的三角函数关系，三角形内角和与两角和的正弦公式应用问题，是基础题．