Question

6．已知函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$，若关于x的方程f（x）=kx²有4个不同的实数解，则k的取值范围是（　　）

• A． k≥1
• B． k＞1
• C． 0＜k＜1
• D． 0＜k≤1

Answer 1

分析 欲使f（x）=kx²有四个根，即$\frac{|x|}{x+2}$=kx²（*）有四个根，可知x=0是方程（*）的1个根，则只要$\frac{|x|}{x+2}$=kx²有3个根不等于0的根即可．即$\frac{1}{k}=\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，
结合函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$的图象可求．

解答 解：f（x）=kx²有四个根，即$\frac{|x|}{x+2}$=kx²（*）
有四个根，
可知x=0是方程（*）的1个根，
则只要$\frac{|x|}{x+2}$=kx²有3个根不等于0的根即可．
即$\frac{1}{k}=\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$，
结合函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+2），x＞0}\\{-x（x+2），x＜0}\end{array}\right.$的图象
可得0＜$\frac{1}{k}$＜1，
∴k＞1，
故选：B．

点评 本题主要考查了方程的根与函数交点的相互转化，体现了分类讨论、转化思想与数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．