Question

14．在△ABC中，AB=AC=1，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{NC}$，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AN}$=-$\frac{1}{4}$，则∠ABC=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用已知条件求出∠BAC=$\frac{π}{2}$，可得∠ABC=$\frac{π}{4}$．

解答 解：如图，

∵AB=AC=1，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{NC}$，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AN}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AN}$=（$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$|$\overline{AB}$|²+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|²=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos∠BAC-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，解得cos∠BAC=0，
则∠BAC=$\frac{π}{2}$．
∴∠ABC=$\frac{π}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．