Question

5．地铁三号线开通后，某地铁站人流量增大，小A瞄准商机在地铁口投资72万元购得某商铺使用权，且商铺最高使用年限为40年，现小A将该商铺出租，第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，设商铺租出的时间为x（0＜x≤40）年．
（1）求商铺租出x年后的租金总和y；
（2）若只考虑租金所得收益，则出租多长时间能收回成本；
（3）小A考虑在商铺出租x年后，将商铺的使用权转让，若商铺转让的价格F与出租的时间x满足关系式：F（x）=-0.3x²+10.56x+57.6，则何时转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大？

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的求和公式，求商铺租出x年后的租金总和y；
（2）由0.2x²+5.2x≥72，可得结论；
（3）P（x）=（-0.3x²+10.56x+57.6+0.2x²+5.2x-72）÷x=-（0.1x+$\frac{14.4}{x}$）+15.76≤-2.4+15.76=13.36，即可得出结论．

解答 解：（1）第一年租金为5.4万元，以后每年租金比上一年增加0.4万元，
∴商铺租出x年后的租金总和y=5.4x+$\frac{x（x-1）}{2}×0.4$=0.2x²+5.2x（0＜x≤40）；
（2）由0.2x²+5.2x≥72，可得x≥10，即出租10年能收回成本；
（3）P（x）=（-0.3x²+10.56x+57.6+0.2x²+5.2x-72）÷x=-（0.1x+$\frac{14.4}{x}$）+15.76≤-2.4+15.76=13.36，
当且仅当0.1x=$\frac{14.4}{x}$，即x=12年，转让商铺，能使小A投资此商铺所得年平均收益P（x）最大．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．