Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2b²，代入点（0，-1），可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题知离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以a²=2b²．
又因为点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于$\sqrt{2}$+1，
所以a+c=$\sqrt{2}$+1，所以b²=1，a²=2．
故C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1…（3分）
（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k（x-2）代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
∴k²＜$\frac{1}{2}$．  …（5分）
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵t•$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$，y=-$\frac{4k}{t（1+2{k}^{2}）}$．…（8分）
∵点N在椭圆上，∴[$\frac{8{k}^{2}}{t（1+2{k}^{2}）}$]²+2•[-$\frac{4k}{t（1+2{k}^{2}）}$]=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∴t²=$\frac{16}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$＜4，
∴-2＜t＜2．
∴整数t值为-1，0，1．…（12分）

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．