Question

7．对函数f（x），如果存在x₀≠0使得f（x₀）=-f（-x₀），则称（x₀，f（x₀））与（-x₀，f（-x₀））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=e^x-a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由方程f（x）=-f（-x）有非零解可得e^2x-2ae^x+1=0有非零解，令e^x=t，则关于t的方程t²-2at+1=0有不等于1的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围．

解答 解：∵f（x）=e^x-a存在奇对称点，
∴f（x）=-f（-x）有非零解，
即e^x-a=a-e^-x有非零解，∴e^2x-2ae^x+1=0有非零解．
设e^x=t，则关于t的方程t²-2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4{a}^{2}-4≥0}\end{array}\right.$，解得a≥1．
若t=1为方程t²-2at+1=0的解，则2-2a=0，即a=1，此时方程只有一解t=1，不符合题意；
∴a≠1．
综上，a＞1．
故选B．

点评 本题考查了函数零点存在性的判断，二次函数的性质，换元转化思想，属于中档题．