Question

4．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动点P（x₀，y₀）满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，是否存在常数λ，使得P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=λ$上的点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，得x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，由点M，N在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，由直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，由此能求出存在常数λ=5，使得P点在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=5$上．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{2}=1（a＞\sqrt{2}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得${b^2}={a^2}-{c^2}=\frac{a^2}{2}$，
又b²=2，解得a=2，
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，
得x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，（6分）
又点M，N在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4$，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4$，
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知：
k_OM•k_ON=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴x₁x₂+2y₁y₂=0，（8分）
∴$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=\frac{x_0^2+2y_0^2}{4}=\frac{{{{（{x_1}+2{x_2}）}^2}+2{{（{y_1}+2{y_2}）}^2}}}{4}$
=$\frac{{（x_1^2+2y_1^2）+4（x_2^2+2y_2^2）+4（{x_1}•{x_2}+2{y_1}•{y_2}）}}{4}=\frac{20}{4}=5$，（11分）
因此，存在常数λ=5，使得P点在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=5$上．（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足点在椭圆上的常数是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．