Question

7．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=$\frac{1}{2}x$+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨²=$\frac{1}{4}$丨AC丨²+丨MN丨²=$\frac{5}{2}$，即可求得B，N两点间距离是否为定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段中点M（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-2=0，
由△=（2m）²-4（2m²-2）=8-4m²＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，则M（-m，$\frac{1}{2}$m），
丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-4×（2{m}^{2}-2）}$=$\sqrt{10-5{m}^{2}}$
由l与x轴的交点N（-2m，0），
则丨MN丨=$\sqrt{（-m+2m）^{2}+（\frac{1}{2}m）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}}$，
∴丨BN丨²=丨BM丨²+丨MN丨²=$\frac{1}{4}$丨AC丨²+丨MN丨²=$\frac{5}{2}$，
∴B，N两点间距离是否为定值$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．