Question

13．已知f（x）=ax³-3x²+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\end{array}}\right.$
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若g（x）=xf′（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为不等式2a≤$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{x}$在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³-3x²+1，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
令f'（x）=0，得x₁=0或x₂=$\frac{2}{a}$，∵a＞0，∴x₁＜x₂，
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（$\frac{2}{a}$）=$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1=1-$\frac{4}{{a}^{2}}$；
（2）g（x）=xf'（x）=3ax³-6x²，
∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），
∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，
即ax³-3x²+1≥3ax³-6x²在x∈[1，2]上有解，
即不等式2a≤$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{x}$在x∈[1，2]上有解，
设y=$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{3}{x}$=$\frac{{3x}^{2}+1}{{x}^{3}}$（x∈[1，2]），
∵y′=$\frac{-{3x}^{2}-3}{{x}^{4}}$＜0对x∈[1，2]恒成立，
∴y=$\frac{1}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{x}$在x∈[1，2]上单调递减，
∴当x=1时，y的最大值为4，
∴2a≤4，即a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想．