Question

9．已知函数f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数．设g（x）=f（x）-axf'（x）（a为常数），求函数g（x）在[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．

解答 解：由题意$g（x）=ln（{x+1}）-\frac{ax}{1+x}$，
$g'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{{a（{1+x}）-ax}}{{{{（{1+x}）}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{（{1+x}）}^2}}}$…（2分）
令g'（x）＞0，即x+1-a＞0，得x＞a-1，
当a-1≤0，即a≤1时，g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g_min（x）=g（0）=ln（1+0）-0=0…（5分）
当a-1＞0即a＞1时，g（x）在[a-1，+∞）上单调递增，在[0，a-1]上单调递减，
所以g（x）_min=h（a-1）=lna-a+1…（8分）
综上：$g{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{0，a≤1}\\{lna-a+1，a＞1}\end{array}}\right.$…（10分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．