Question

5．如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A-BCDE．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积；
（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A-BCDE所得截面面积为S，试求S的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可证得BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出三棱锥E-ABC的体积；
（Ⅲ）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α与平面ACD的交线平行于AC，由M是中点，可得平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A-BCDE的截面，即S=S_MNPQ，由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四边形MNPQ是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，进一步求出MN，NP，MQ，则S的值可求．

解答 （Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，
又AD∩DC=D，
∴DE⊥平面ACD．
又∵DE∥BC，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD?平面ADC，
∴AD⊥BC．
又∵∠ADC=90°，
∴AD⊥DC．
又∵BC∩DC=C，
∴AD⊥平面BCDE．
∴${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC•CD•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2=\frac{8}{3}$；
（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，
∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，
∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，
同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A-BCDE的截面，即S=S_MNPQ．
由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，
又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．
∴四边形MNPQ是直角梯形．
在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=$2\sqrt{2}$．
MN=$\frac{1}{2}$AC=2，NP=$\frac{1}{2}DE=1$，MQ=$\frac{1}{2}（BC+DE）=3$．
∴S=（1+3）×$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面α截四棱锥A-BCDE所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题．