Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意的μ∈（0，+∞），函数f（x）的图象C₁与函数y=f（x+μ）-v的图象C₂至多有一个交点．求实数v的范围．

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）=x³+bx²+cx，知f′（x）=3x²+2bx+c，由函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2，解得b=0，c=-3．由此能求出f（x）的单调区间．
（II）y=f（x+μ）-v=（x-μ）³-3（x-μ）-v，由方程组

y=(x+μ)3-3(x+μ)-v y=x3-3x

，得3μx²+3μ²x+μ³-3μ-v=0至多有一个实根．由此能求出实数v的范围．

解答：解：（I）∵函数f（x）=x³+bx²+cx，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）=x³+bx²+cx在x=1处取得极小值-2，
∴

f(1)=1+b+c=-2 f′(1)=3+2b+c=0

，
解得b=0，c=-3．…3 分
∴f′（x）=3x²+2bx+c=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴（-∞，-1），（1，+∞）是单调递增区间，（-1，1）是单调递减区间．…6 分
（II）y=f（x+μ）-v
=（x-μ）³-3（x-μ）-v，
由方程组

y=(x+μ)3-3(x+μ)-v y=x3-3x

，
得3μx²+3μ²x+μ³-3μ-v=0至多有一个实根，…8 分
∴△=9μ⁴-12μ（μ³-3μ-v）≤0，
∴-μ³+12μ+4v≤0，
∴v≤

1

4

μ3-3μ当u＞0时恒成立．…10 分
令g(μ)=

1

4

μ3-3μ，(μ＞0)，
则g′(μ )=

3

4

μ2-3
=

3

4

(μ-2)(μ+2)，
由此知函数g（μ）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
所以当μ=2时，函数g（μ）取最小值，即为-4，于是v≤-4．…13 分

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．