Question

（1）已知一元二次不等式ax²+bx+1＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，求a+b的值．
（2）求函数y=2-x-

9

x

（x＞0）的最大值，并指出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，二次函数y=ax²+bx+1的图象是开口向下的抛物线，且与x轴交于两点（-2，0），（1，0），再利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值，可得a+b的值．
（2）由x+

9

x

≥6，可得y=2-（x+

9

x

）≤2-6，从而求得函数的最大值．

解答：（1）解：由于不等式ax²+bx+1＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，
所以二次函数y=ax²+bx+1的图象是开口向下的抛物线，…（1分）
且与x轴交于两点（-2，0），（1，0）．…（2分）
所以-2和1是方程ax²+bx+1=0的两根，…（3分）
由此得

-2+1=- b a -2×1= 1 a

，…（4分）   解得a=b=-

1

2

．…（5分）
所以，a+b=-1．…（6分）
（2）解：因为x＞0，所以x+

9

x

≥6，-（x+

9

x

）≤-6，…（8分）
当且仅当x=

9

x

即x=3时，等号成立．…（10分）
因此y=2-x-

9

x

≤2-6=-4，
即x=3时，函数取最大值-4．…（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，基本不等式的应用，属于中档题．