Question

15．函数f（x）=sin$\frac{π}{6}$xcos$\frac{π}{6}$x-$\sqrt{3}$sin²$\frac{π}{6}$x在区间[-1，a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 化函数f（x）为正弦型函数，求出函数的最小正周期T；
根据f（x）在区间[-1，a]上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值．

解答 解：函数f（x）=sin$\frac{π}{6}$xcos$\frac{π}{6}$x-$\sqrt{3}$sin²$\frac{π}{6}$x
=$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos$\frac{π}{3}$x）
=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6；
又f（x）在区间[-1，a]上至少取得2个最大值，
∴a-（-1）＞T+$\frac{T}{4}$≥7.5，
解得a＞6.5，
∴正整数a的最小值是8．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．