Question

3．已知等差数列{a_n}的公差d不为0，且a₇，a₃，a₁是等比数列{b_n}从前到后的连续三项．
（1）若a₁=4，求等差数列{a_n}的前10项的和S₁₀；
（2）若等比数列{b_n}的前100项的和T₁₀₀=150，求b₂+b₄+b₆+…+b₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）设公差为d，由a₇，a₃，a₁是等比数列{b_n}从前到后的连续三项．可得${a_1}•{a_7}=a_3^2$，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）a₇=8d，a₃=4d，可得公比$q=\frac{1}{2}$，T₁₀₀=b₁+b₃+…+b₉₉+b₂+b₄+…+b₁₀₀，又b₂+b₄+…+b₁₀₀=q（b₁+b₃+…+b₉₉），即可得出．

解答 解：（1）设公差为d，∵a₇，a₃，a₁是等比数列{b_n}从前到后的连续三项．
∴${a_1}•{a_7}=a_3^2$，$a_1^2+6{a_1}d=a_1^2+4{a_1}d+4{d^2}$，
∴a₁=2d，又a₁=4，∴d=2，
a_n=2n+2，${S_{10}}=\frac{{（{a_1}+{a_{10}}）×10}}{2}=130$．
（2）a₇=8d，a₃=4d，
∴公比$q=\frac{1}{2}$，
T₁₀₀=b₁+b₃+…+b₉₉+b₂+b₄+…+b₁₀₀，
又b₂+b₄+…+b₁₀₀=q（b₁+b₃+…+b₉₉），
∴${b_2}+{b_4}+…+{b_{100}}+\frac{1}{q}（{b_2}+{b_4}+…+{b_{100}}）=150$，
∴b₂+b₄+…+b₁₀₀=50．

点评 本题考查了分组求和方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．