Question

18．若等腰△ABC的周长为$4\sqrt{2}$，则△ABC腰AB上的中线CD的长的最小值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，CD²=AD²+AC²-2•AD•AC•cosA，
∴$cosA=\frac{{{x^2}+{x^2}-{{（4\sqrt{2}-2x）}^2}}}{{2{x^2}}}$，
∴$C{D^2}=\frac{5}{4}{x^2}-2•\frac{1}{2}{x^2}•\frac{{16\sqrt{2}x-32-2{x^2}}}{{2{x^2}}}$，
$C{D^2}=\frac{9}{4}{x^2}-8\sqrt{2}x+16$．
当$x=\frac{16}{9}\sqrt{2}$时，
$CD_{max}^2=\frac{16}{9}$，$C{D_{max}}=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．