Question

14．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{n}{a_n}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，不等式${S_n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}＞{（-1）^n}•a$对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知a₁+a₃=20，a₂=8．可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=20，a₁q=8．化为2q²-5q+2=0，q＞1，解得q，a₁．可得a_n．
（Ⅱ）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，利用“错位相减法”可得数列{b_n}的前n项和S_n，代入不等式${S_n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}＞{（-1）^n}•a$，化简利用数列的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由已知a₁+a₃=20，a₂=8．可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=20，a₁q=8．化为2q²-5q=2=0，q＞1，解得q=2，a₁=4．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）解：${b_n}=\frac{n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴2S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴（-1）ⁿa＜1-$\frac{1}{{2}^{n}}$对任意正整数n恒成立，设f（n）=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，易知f（n）单调递增．
n为奇数时，f（n）的最小值为$\frac{1}{2}$，∴-a$＜\frac{1}{2}$得a$＞-\frac{1}{2}$，
n为偶数时，f（n）的最小值为$\frac{3}{4}$，∴a$＜\frac{3}{4}$，
综上，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{4}$，即实数a的取值范围是$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．