Question

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．
（1）证明：A=2B；
（2）若a²+c²=b²+2acsinC，求A．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和正弦函数的性质，即可证明A=2B成立；
（2）由余弦定理和正弦、余弦函数的性质，化简求值即可．

解答 解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinA=2sinBcosB=sin2B，
∵0＜A，B＜π，
∴sinA=sin2B＞0，
∴0＜2B＜π，
∴A=2B或A+2B=π，
若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，
∴A+2B≠π；
∴A=2B；
（2）∵a²+c²=b²+2acsinC，
∴$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=sinC$，
由余弦定理得cosB=sinC，
∵0＜B，C＜π，
∴$C=\frac{π}{2}-B$或$C=\frac{π}{2}+B$，
①当$C=\frac{π}{2}-B$时，则$A=\frac{π}{2}，B=C=\frac{π}{4}$，
这与“b≠c”矛盾，∴$A≠\frac{π}{2}$；
②当$C=\frac{π}{2}+B$时，由（1）得A=2B，
∴$A+B+C=A+2B+\frac{π}{2}=2A+\frac{π}{2}=π$，
∴$A=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理和正弦、余弦函数的应用问题，是基础题．