Question

12．已知数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=-2，且满足S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₃（-a_n+1），求数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+2}}$}前n项和为T_n，求证T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1-$（\frac{1}{2}{a}_{n}+n）$，化为：a_n+1=3a_n-2，可得：a_n+1-1=3（a_n-1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=log₃（-a_n+1）=n，可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1（n∈N^*）．∴n=1时，-2=$\frac{1}{2}$a₂+2，解得a₂=-8．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1+n+1-$（\frac{1}{2}{a}_{n}+n）$，
化为：a_n+1=3a_n-2，可得：a_n+1-1=3（a_n-1），
n=1时，a₂-1=3（a₁-1）=-9，
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为-3，公比为3．
∴a_n-1=-3ⁿ，即a_n=1-3ⁿ．
（II）证明：b_n=log₃（-a_n+1）=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+2}}$}前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．